$4$人乗りと$5$人乗りの自動車があります．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，これら$2$台の自動車に分乗してドライブに行きます．ただし，座席は区別しないものとし，運転できる人が$2$人以上乗る場合，誰が運転するかは区別しないものとします．次の場合，分乗する方法はそれぞれ何通りあるか答えなさい．

(1)$6$人全員が自動車を運転できる．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人のみが自動車を運転できる．

次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．