次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．

（注：出題ミスで解けません）一辺の長さが$5$である正三角形$\mathrm{ABC}$とその外接円がある．図のように，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と異なる側で$\mathrm{AD}=6$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
（図は省略）

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．