中心$(0,\ a)$，半径$a$の円を$xy$平面上の$x$軸の上を$x$の正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発するとする．次の問いに答えよ．

(1)円が角$t$だけ回転したとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動いて円が一回転したときの点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の曲線$C$の長さを求めよ．

$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．

(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」

(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

図のような$1$辺の長さ$a$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．線分$\mathrm{AF}$，$\mathrm{BG}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DE}$上にそれぞれ動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$があり，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を同時に出発して同じ速さで頂点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{E}$まで動く．このとき，四角形$\mathrm{PQRS}$が通過してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．

座標平面上で，C$_1$，C$_2$，C$_3$を，それぞれ，中心が$(0,\ 0),\ (3,\ 0),\ (5,\ 0)$，半径が$2,\ 1,\ 1$である円周とする．点Pは点$(2,\ 0)$を出発点とし，円周C$_1$上を反時計回りに等速で$2a$秒で一周する．点Qは点$(4,\ 0)$を出発点とし，先ず円周C$_2$上を反時計回りに等速で$a$秒で一周し，続いて円周C$_3$上を時計回りに等速で$a$秒で一周する．\\
\quad 点P，Qが同時に出発するとき，線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ．
\quad ただし，$a$は正の定数である．