$\triangle$ABCの頂点は反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとする．点Aを出発した石が，次の規則で動くとする．\\
\quad コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする． \\
コインを$n$回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．また，$a_2,\ b_2,\ c_2$および$a_3,\ b_3,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$のうち2つの値が一致することを証明せよ．
(4)(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．

座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．

(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．原点を出発して，さいころを$1$回振るごとに，$5$以上の目が出たら$+3$だけ，$4$以下の目が出たら$-1$だけ点$\mathrm{P}$の位置が数直線上で移動する．

(1)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$がちょうど$4$の位置にくる確率を求めよ．
(2)さいころを$1$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．
(3)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を，点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と，座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を，点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$について，$4$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ．
（図は省略）

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．