原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$は，サイコロを投げて$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出たら正の向きに$1$だけ進み，$5,\ 6$の目が出たら負の向きに$1$だけ進む．

(1)サイコロを$5$回投げる間に，$\mathrm{P}$が一度も数直線の正の側に出ない確率を求めよ．
(2)サイコロを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．

サイコロを$2$個，くり返し投げたとき，$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$は原点を出発して，次の規則で移動していく．

(i) $1$回投げるごとに，$x$軸方向に$+1$移動する．
(ii) 目の和が$10$以上のときは$y$軸方向に$+2$移動し，$9$以下のときは$y$軸方向に$-1$移動する．

このとき，次の確率を求めよ．

(1)$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に達する．
(2)$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(6,\ 5)$に達する．
(3)$7$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(7,\ 5)$に達する．

座標平面上にO$(0,\ 0)$，A$(20,\ 0)$，B$(20,\ 10)$，C$(0,\ 10)$を頂点とする長方形がある．点PはAを出発して，辺AB上を毎秒1の速さでBに向かって進み，点Qは，点Pと同時にBを出発して，辺BC上を毎秒2の速さでCに向かって進む．以下の問に答えよ．

(1)点PがBに達するまでに，$\triangle$OPQの面積が最小になるのは，出発してから何秒後か．また，その最小の面積を求めよ．
(2)点PがBに達するまでの$\triangle$OPQの重心の軌跡を求めよ．

座標平面上において，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y)$または点$(x,\ y+1)$への移動をN型移動といい，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y+1)$への移動をS型移動という．$n$を3以上の整数とする．原点Oから出発し，$2n-2$回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点$(n,\ n)$に到達する径路の総数を$A(n)$とする．また，このような径路のうち，S型移動を$k$回目の移動として含む径路の総数を$B(n,\ k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．

ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．