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大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2016年 第1問
次の空所を埋めよ.

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha+\beta=[ア]$であり,$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である.
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり,$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る.ただし,$0 \leqq [エ]<13$とする.
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である.また,辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき,点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する.
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ,出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする.このとき,積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり,$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある.
大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2016年 第1問
次の空所を埋めよ.

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha+\beta=[ア]$であり,$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である.
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり,$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る.ただし,$0 \leqq [エ]<13$とする.
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である.また,辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき,点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する.
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ,出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする.このとき,積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり,$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある.
茨城大学 国立 茨城大学 2014年 第2問
$a,\ b$を実数とし,$2$次の正方行列を$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする.以下の各問に答えよ.

(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ.
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える.このとき,行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ.ただし,さいころの$1$から$6$までの目の出方は,同様に確からしいものとする.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2013年 第6問
さいころを$5$回投げ,出た$5$つの目を出た順に並べたものを目の出方とする.

(1)すべての目の出方は何通りあるか.
(2)$5$以上の目が$2$つ以上ある目の出方は何通りあるか.
(3)和が$10$以上となる$2$つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2013年 第3問
$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目を持ったサイコロがある.$1$と$3$の目がそれぞれ$2$つずつあり,$2$と$4$の目は$1$つずつである.このサイコロを$1$以外の目が出るまで振り続ける.出た目の数の総和が$n$である確率を$P_n$とする.次の問に答えなさい.

(1)出た目の数の総和が$6$となるサイコロの目の出方を全て列挙しなさい.
(2)$P_2,\ P_3,\ P_4$をそれぞれ求めなさい.
(3)出た目の数の総和が$5$以上である確率を求めなさい.
(4)$P_n$が最大となる$n$の値を求めなさい.
広島大学 国立 広島大学 2012年 第4問
$N$は$4$以上の整数とする.次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる.

規則:出た目を毎回記録し,偶数の目が$3$回出るか,あるいは奇数の目が$N$回出たところで,さいころを投げる操作を終了する.

ただし,さいころの目の出方は同様に確からしいとする.次の問いに答えよ.

(1)さいころを投げる回数は,最大で何回か.
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ.
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ.
(5)$N=4$のとき,さいころを投げる回数の期待値を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2012年 第5問
$n$は自然数とし,点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする.\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは,はじめに点$(1,\ 2)$にある.\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し,3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する.\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す.\\
ただし,さいころの目の出方は同様に確からしいとする.次の問いに答えよ.

(1)$n=3$のとき,出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする.このときPが最後に移った点の座標を求めよ.
(2)$n=3$のとき,Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ.
(3)$n=6$のとき,Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ.
(4)$n=3m$のとき,Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ.ただし,$m$は自然数とする.
奈良教育大学 国立 奈良教育大学 2012年 第3問
$2$つのサイコロを投げたとき,その目の和を$S$とする.$3$つのサイコロを投げたとき,その目の和を$T$とする.ただし,$1$つのサイコロには,$1$から$6$までの目がかかれていて,その目の出方はどれも同様に確からしいものとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$S$の値が$6$となる確率を求めよ.
(2)$T$の値が$6$となる確率を求めよ.
(3)$S$の値が$7$以上となる確率を求めよ.
(4)$T$の値が$7$以上となる確率を求めよ.
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「出方」とは・・・

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