$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

$1$回投げて表が出る確率$p$，裏が出る確率$1-p$のコインが$1$枚ある．このコインを$1$日に$4$回投げる試行を$\mathrm{T}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)試行$\mathrm{T}$において，$2$回以上表が出る確率$A$を，$p$の多項式として降べきの順に表せ．
(2)試行$\mathrm{T}$を$5$日続ける試行を$\mathrm{S}$とする．

(3)試行$\mathrm{S}$において，$5$日間の中でちょうど$3$日だけ$1$日に$2$回以上表が出て，かつ，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$を用いて表せ．
(4)試行$\mathrm{S}$において，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$の多項式として降べきの順に表せ．

$5$個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(1)$5$個のさいころすべてに同じ目が出る確率を求めよ．
(2)$3$個のさいころに同じ目が出て，かつ残りの$2$個のさいころにも同じ目が出る確率を求めよ．ただし，$3$個のさいころに出た同じ目と$2$個のさいころに出た同じ目は異なるとする．
(3)出た目が連続した$5$つの数の組合せになる確率を求めよ．

数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．

(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率