「凹凸」について
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(7ページ目:全91問中61問~70問を表示)![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について,次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき,$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ.
(2)(1)の$a$を用いて,関数$y=f(x)$の増減,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)(1)の$a$について,$0<t<a$とするとき,
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき,$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ.
(2)(1)の$a$を用いて,関数$y=f(x)$の増減,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)(1)の$a$について,$0<t<a$とするとき,
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ.
![広島市立大学](./img/univ/hiroshimashiritsu.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2}$について,以下の問いに答えよ.
(1)関数$f(x)$の増減,極値,および$y=f(x)$のグラフの凹凸,変曲点を調べよ.さらに,このグラフの概形を描け.
(2)$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1}f(t) \, dt$とおく.$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ.
(1)関数$f(x)$の増減,極値,および$y=f(x)$のグラフの凹凸,変曲点を調べよ.さらに,このグラフの概形を描け.
(2)$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1}f(t) \, dt$とおく.$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ.
(1)関数の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること.また,極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること.
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ.また,接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ.
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(1)関数の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること.また,極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること.
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ.また,接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ.
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
![福岡女子大学](./img/univ/fukuokajoshi.png)
関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする.次の問に答えなさい.
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を,それぞれ求めなさい.
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい.
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を,それぞれ求めなさい.
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい.
![北九州市立大学](./img/univ/kitakyushushiritsu.png)
関数$\displaystyle y=f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$について,以下の問いに答えよ.
(1)第$1$次導関数$y^\prime$を求めよ.
(2)第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ.
(3)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.
(1)第$1$次導関数$y^\prime$を求めよ.
(2)第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ.
(3)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し,Pにおいて共通の接線をもっている.ただし,$a$は定数とする.次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減,凹凸,変曲点を調べ,$C_1$の概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ.
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を,$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減,凹凸,変曲点を調べ,$C_1$の概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ.
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を,$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする.次の問いに答えよ.
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち,その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ.
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ.
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.ただし,グラフの凹凸を調べる必要はない.
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち,その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ.
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ.
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.ただし,グラフの凹凸を調べる必要はない.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする.次の問いに答えよ.
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち,その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ.
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ.
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.ただし,グラフの凹凸を調べる必要はない.
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち,その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ.
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ.
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.ただし,グラフの凹凸を調べる必要はない.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle y=x \log x \ \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1 \right)$の増減,凹凸を調べて,そのグラフをかけ.ただし対数は自然対数とする.また自然対数の底$e$は,$2<e<3$をみたす.
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 x \log x \, dx$を求めよ.
(1)関数$\displaystyle y=x \log x \ \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1 \right)$の増減,凹凸を調べて,そのグラフをかけ.ただし対数は自然対数とする.また自然対数の底$e$は,$2<e<3$をみたす.
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 x \log x \, dx$を求めよ.
![島根大学](./img/univ/shimane.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減,極値,グラフの凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減,極値,グラフの凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ.