「凹凸」について
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私立 東京都市大学 2014年 第3問$0 \leqq x \leqq 2\pi$を定義域とする関数$f(x)=e^{ax} \sin x$が$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$で極値をとるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第1問関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．
公立 広島市立大学 2014年 第4問関数$f(x)=4 \sin x+(\pi-2x) \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$，$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ．
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(4)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$，$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ．
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(4)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第4問$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
国立 電気通信大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2 \sin x} \ (0<x<\pi)$について以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．
国立 三重大学 2013年 第4問関数$y=xe^{-2x}$を考える．
(1)$y^\prime,\ y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)この関数の$0 \leqq x \leqq 2$における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
(1)$y^\prime,\ y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)この関数の$0 \leqq x \leqq 2$における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
国立 鹿児島大学 2013年 第4問$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2013年 第6問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第5問$f(x)=2 \sin x+\cos 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第8問関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．