「凹凸」について
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国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 大阪教育大学 2014年 第3問曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
国立 山梨大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
国立 宮城教育大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第4問関数
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
国立 山口大学 2014年 第4問関数
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
国立 島根大学 2014年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．