$f(x)=2xe^{-x}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

二つの放物線

$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$

がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$を考える．

(1)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)$の増減と凹凸を調べ，$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$t$を正の数とし，$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および直線$x=t$と$x=2t$で囲まれた図形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．また，$S(t)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x^4}$について次の問に答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 x^3f(x) \, dx$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$y=xe^{-x}$のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=xe^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてもよい．
(2)$C$の変曲点における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に，半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する．点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし，点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする．最初，点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり，点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある．円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し，点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]