「円」について
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私立 東京女子大学 2010年 第1問$a$は$0 \leqq a \leqq 1$を満たす実数とする．関数$y=|x-a|$のグラフと円周$x^2+y^2=1$の$2$交点の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．
(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．
私立 神奈川大学 2010年 第1問次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．
(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．
(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．
私立 神戸薬科大学 2010年 第1問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ．
(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[ ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[ ]$である．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[ ]$である．また，正となるものの最小値は$[ ]$であり，最大値は$[ ]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[ ]$，最大値は$[ ]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]
(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[ ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[ ]$である．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[ ]$である．また，正となるものの最小値は$[ ]$であり，最大値は$[ ]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[ ]$，最大値は$[ ]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]
私立 ノートルダム清心女子大学 2010年 第3問$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．
公立 首都大学東京 2010年 第1問$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えのみではなく，理由も述べなさい．
(1)$S=7$となる確率を求めなさい．
(2)$S \geqq 7$となる確率を求めなさい．
(3)$S \leqq 5$または$S \geqq 16$なら$3000$円，$6 \leqq S \leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．
(1)$S=7$となる確率を求めなさい．
(2)$S \geqq 7$となる確率を求めなさい．
(3)$S \leqq 5$または$S \geqq 16$なら$3000$円，$6 \leqq S \leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．
公立 熊本県立大学 2010年 第3問$0 \leqq r \leqq l$のとき，円$(x-m)^2+(y-l)^2=r^2$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
公立 熊本県立大学 2010年 第3問$0 \leqq r \leqq l$のとき，円$(x-m)^2+(y-l)^2=r^2$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
公立 県立広島大学 2010年 第4問放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第2問座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．