「円」について
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私立 北海道科学大学 2010年 第1問$x-y=2,\ x^2+y^2=8$であるとき，次の値を求めよ．ただし，$x>0$とする．
(1)$xy=[ ]$
(2)$x+y=[ ]$
(1)$xy=[ ]$
(2)$x+y=[ ]$
私立 北海道科学大学 2010年 第9問半径$1$の円において，直径$\mathrm{AB}$と円周上の点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で，四角形$\mathrm{ABCD}$を作る．$\angle \mathrm{A}=75^\circ$，$\angle \mathrm{B}=60^\circ$のとき，$\angle \mathrm{DAC}=[ ]$である．また，$\mathrm{CD}$の長さは$[ ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 北海道科学大学 2010年 第22問$a$は実数の定数とする．円$x^2+y^2-ax-2y=0$上の点$(4,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)この円の中心の座標と半径を求めよ．
(3)接線$\ell$の傾きを求めよ．
(4)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)この円の中心の座標と半径を求めよ．
(3)接線$\ell$の傾きを求めよ．
(4)接線$\ell$の方程式を求めよ．
私立 日本女子大学 2010年 第1問図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第2問円$\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3,\ \cdots$があり，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
私立 愛知工業大学 2010年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
私立 愛知工業大学 2010年 第4問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
私立 星薬科大学 2010年 第2問下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[ ]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 日本女子大学 2010年 第2問図のように，表面積が$2\pi$で，底面の半径が$r$，高さが$h$の円柱がある．
(1)$h$を$r$の式で表せ．
(2)この円柱の体積が最大となるような$r$と$h$の値を求めよ．また，そのときの体積を求めよ．
（図は省略）
(1)$h$を$r$の式で表せ．
(2)この円柱の体積が最大となるような$r$と$h$の値を求めよ．また，そのときの体積を求めよ．
（図は省略）
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．