「円」について
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私立 金沢工業大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．
(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．
(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第5問半径1の円Oの中心Oを通る直線上に$\text{OA}=2$となるように点Aを定める．点Aを通り，円Oと2点B，Cで交わるような直線を引き，$\text{AB}=\text{BC}$となるようにしたい．2直線のなす角$\theta = \angle \text{OAB} \ (0^\circ <\theta<30^\circ)$をどのように定めればよいか．次の手順で検討せよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．
私立 関西大学 2010年 第3問座標平面上に$(3,\ 2)$を中心とし，半径$1$の円$\mathrm{O}_1$がある．円$\mathrm{O}_1$に外接し，かつ$x$軸に接する円$\mathrm{O}$の円周上のすべての点が$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たす領域にあるとする．また，円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$q$を$p$で表せ．
(2)$x$軸，$y$軸に接し，円$\mathrm{O}_1$に外接する円の半径を求めよ．
(3)$p$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$q$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$q$を$p$で表せ．
(2)$x$軸，$y$軸に接し，円$\mathrm{O}_1$に外接する円の半径を求めよ．
(3)$p$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$q$のとりうる値の範囲を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第2問座標平面上に
円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$
があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．
円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$
があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第12問直線$y-2x+m=0$（$m$は実数）と円$x^2+y^2+2x+6y+6=0$が相異なる$2$点で交わるためには，$m$のとりうる範囲は，$a<m<b$とならなければならない．$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{16}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第13問$2$つの円$x^2+y^2+4x-13+a=0$（$a$は実数），$x^2+y^2-2x+4y+1=0$が外接するとき，$\displaystyle \frac{a^2}{26}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第14問円$C:(x-6)^2+y^2=25$と直線$L:y=ax$（$a$は実数，$a>0$）について考える．$C$と$L$の$2$つの相異なる交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$C$の中心と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$でつくる三角形の面積が最大となる$a$を$A$とする．$\sqrt{47}A$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第22問表面積が$150 \pi$の円柱のうち，体積が最大となる円柱の底面の半径を$r$とするとき，$r$の値を求めよ．ただし，円柱の表面積は，$2$つの底面および側面の面積の総和である．
私立 甲南大学 2010年 第2問$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
私立 甲南大学 2010年 第2問$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．
(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．