「円」について
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国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問はじめに$A=1$，$B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問はじめに$A=1$，$B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第2問原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$，点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$，点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる．さらに，Pを中心とし，Qを通る円を$C_2$，Rを中心とし，Qを通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2010年 第3問$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2010年 第2問座標平面の$x$軸の正の部分を始線にとり，角${\theta_n}^\circ \geqq 0 \ $(度数法)の動径と単位円との交点を$\mathrm{P}_n$とする．$\theta_1=0$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{ \theta_n \}$は等差数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_1$となるとき，数列$\{ \theta_n \}$の公差を求めよ．
(2)$\{ \theta_n \}$は，$\theta_{n+1}-\theta_n=n+d$を満たす数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k \ (k \geqq 2)$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_k=\mathrm{P}_1$となるとき，$d$を$k$を用いて表せ．
(3)$\{ \theta_n \}$は，(2)の数列とする．$k=6$のとき，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_1$を満たす$n \ (n \geqq 7)$をひとつ求めよ．
(1)$\{ \theta_n \}$は等差数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_1$となるとき，数列$\{ \theta_n \}$の公差を求めよ．
(2)$\{ \theta_n \}$は，$\theta_{n+1}-\theta_n=n+d$を満たす数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k \ (k \geqq 2)$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_k=\mathrm{P}_1$となるとき，$d$を$k$を用いて表せ．
(3)$\{ \theta_n \}$は，(2)の数列とする．$k=6$のとき，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_1$を満たす$n \ (n \geqq 7)$をひとつ求めよ．
国立 宇都宮大学 2010年 第6問座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．
国立 茨城大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．
国立 山梨大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問座標平面において，点C$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点N$(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，Oは原点を表すものとする．
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．
(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．