「円」について
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国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 奈良女子大学 2010年 第6問原点を中心とする半径2の円を$C$とする．$a$を実数とし，点$(a,\ 4)$から円$C$へ2本の接線を引き，その接点をP$_1$，P$_2$とする．P$_1$，P$_2$を通る直線が$a$の値にかかわらず定点を通ることを示せ．また，その定点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(-1,\ 3)$，点$\mathrm{B}(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第2問座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
国立 岡山大学 2010年 第3問原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．