円$x^2 +y^2 = 1$をある直線$\ell$に関して折り返すと，点$(2,\ 0)$で$x$軸に接する．このとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．

$0 < p < 4$とし，放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$上の点$\displaystyle \left(p,\ \frac{1}{4}p^2 \right)$を中心にして，半径が$\displaystyle \frac{1}{4}p^2$の円$C$をかく．次に，$m > 0$とし，直線$y = mx$が円$C$に接しているとする．

(1)$m$を$p$の式で表せ．
(2)放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$と直線$y = mx$によって囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$m$と$p$の値を求めよ．

鋭角三角形$\triangle$ABCにおいて，頂点Aを通り直線BCに点Bで接する円$C_1$の半径を$p$，頂点Aを通り直線BCに点Cで接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle$ABCの外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．

鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{B}$で接する円$C_1$の半径を$p$，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{C}$で接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．

放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．

(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

直線$y=a(x+2)$と円$x^2+y^2-4x=0$は異なる2点P，Qで交わっているとする．また，線分PQの中点をRとする．

(1)定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)Rの座標を$a$を用いて表せ．
(3)原点Oと点Rの距離を求めよ．
(4)$a$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，点Rの軌跡を求めよ．

$a \geqq 0$とする．円$C_1:x^2+y^2=1$と円$C_2:x^2+y^2-10x+20-a=0$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の点Pと$C_2$上の点Qとの距離PQの最小値を$a$を用いて表せ．
(2)$a=11$のとき，2つの円$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a$を正の定数とし，点P$\displaystyle (0,\ \frac{2}{a})$に最も近い$C$上の点をQとする．また，点R$(0,\ -a)$を通る直線が点Sで$C$に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．

3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(3,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 1)$がある．

(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．