$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

平面上の点$(a,\ b)$は円$x^2 + y^2-100 = 0$上を動き，点$(c,\ d)$は円$x^2 + y^2-6x-8y+24 = 0$上を動くものとする．

(1)$ac+bd = 0$を満たす$(a,\ b)$と$(c,\ d)$の例を一組あげよ．
(2)$ac+bd$の最大値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．

(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．

中心$(0,\ a)$，半径$a$の円を$xy$平面上の$x$軸の上を$x$の正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発するとする．次の問いに答えよ．

(1)円が角$t$だけ回転したとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動いて円が一回転したときの点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の曲線$C$の長さを求めよ．

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端をA$(-1,\ 0)$，B$(1,\ 0)$とする．$C$上の2点N，Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る．ただし，$\text{N} \neq \text{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．

座標平面において，原点を中心とする半径$3$の円を$C$，点$(0,\ -1)$を中心とする半径$8$の円を$C^{\, \prime}$とする．$C$と$C^{\, \prime}$にはさまれた領域を$D$とする．

(1)$0 \leqq k \leqq 3$とする．直線$\ell$と原点との距離が一定値$k$であるように$\ell$が動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
(2)直線$\ell$が$C$と共有点をもつように動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．

半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

座標平面において，円$x^2+y^2=1$上の点P$(a,\ b) \ (0<b<1)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点をQとする．点R$(4,\ 0)$と$\ell$の距離が2であるとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ．