円$x^2+y^2+lx+my+n=0$が，点$\mathrm{A}(-4,\ 3)$，点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，点$\mathrm{C}(2,\ 3)$の$3$点を通るとき，次の問いに答えなさい．

(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい．
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい．
(3)この円の面積を求めなさい．

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{FE} \para \, \mathrm{BC}$，$\mathrm{AE}=\mathrm{EC}$である．また，$\mathrm{FE}$を直径とする円$O$と$\mathrm{BC}$との接点を点$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$64$，$\angle \mathrm{ABC}={30}^\circ$のとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)円$O$の半径の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{HFE}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．

(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

半径が$a$の球に内接する直円錐のうち，体積が最も大きいものを直円錐$C$とし，その高さを$h$，体積を$V$とする．ただし，$a$は定数であり，円周率は$\pi$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)直円錐$C$の体積$V$を$h$の関数で表せ．
(2)$a=6$のとき，$h$と$V$を求めよ．
(3)$(2)$において，直円錐$C$の表面を底面の円と側面の扇形に分解したとき，扇形の中心角$\theta$を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$\triangle$ABCの辺BC上に点D，辺AC上に点Eがあり，四角形ABDEが円Oに内接している．$\displaystyle \text{AE} = \text{DE},\ \text{AB} = \frac{42}{5},\ \text{AC} = 14,\ \text{BD} = \frac{6}{5}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．