「円」について
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(8ページ目:全908問中71問~80問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
以下の問に答えよ.
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
![東北学院大学](./img/univ/tohokugakuin.png)
円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=4,\quad \mathrm{DA}=5 \]
とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\angle \mathrm{CDA}=\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ.
(4)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,面積比$\triangle \mathrm{ABP}:\triangle \mathrm{APD}$を求めよ.
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=4,\quad \mathrm{DA}=5 \]
とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\angle \mathrm{CDA}=\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ.
(4)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,面積比$\triangle \mathrm{ABP}:\triangle \mathrm{APD}$を求めよ.
![東北学院大学](./img/univ/tohokugakuin.png)
点$\mathrm{A}(8,\ 6)$を中心とし半径が$r$の円と円$C:x^2+y^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わっているとき,次の問いに答えよ.ただし,点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする.
(1)$r$の値の範囲を求めよ.
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(1)$r$の値の範囲を求めよ.
(2)直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
次の$[ ]$を埋めよ.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
複素数平面において,円$|z|=1$を$C$とする.
(1)$\alpha=a+bi$を$C$上の点とする.複素数$w=x+yi$が$\alpha$を通る$C$の接線上にあるための条件を実数$a,\ b,\ x,\ y$を用いて表せ.
(2)次の条件を満たす$C$上の点$\alpha$の描く図形を図示せよ.
\[ \text{条件:} \quad \left\{ \begin{array}{l}
\alpha \overline{w}+\overline{\alpha}w=2 \\
|w-4|=1
\end{array} \right. \text{を同時に満たす複素数$w$が存在する.} \]
(1)$\alpha=a+bi$を$C$上の点とする.複素数$w=x+yi$が$\alpha$を通る$C$の接線上にあるための条件を実数$a,\ b,\ x,\ y$を用いて表せ.
(2)次の条件を満たす$C$上の点$\alpha$の描く図形を図示せよ.
\[ \text{条件:} \quad \left\{ \begin{array}{l}
\alpha \overline{w}+\overline{\alpha}w=2 \\
|w-4|=1
\end{array} \right. \text{を同時に満たす複素数$w$が存在する.} \]
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
\begin{mawarikomi}{68mm}{
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
点$z$は複素数とする.点$z$は,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く.$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき,$|w|$の最大値を$M$,最小値を$m$とする.$3(M-m)$の値を求めよ.