単位円上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$とする．単位円上の点$\mathrm{P}$が
\[ \triangle \mathrm{ABC} \text{の面積}:\triangle \mathrm{ABP} \text{の面積}=1:1+\sqrt{3} \]
をみたすとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．

$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．

方程式$y=-x^2+2x+8$で表される放物線を$C_1$とする．放物線$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の内部にある円で，放物線$C_1$と$x$軸に$3$点で接するものを$C_2$とする．放物線$C_1$と$x$軸との$2$つの交点，および放物線$C_1$の頂点を通る円を$C_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍になるか求めよ．
(3)放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の内部にある点を$\mathrm{A}$とする．この円周上の点$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ．