「円」について
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私立 京都女子大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．次の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第2問中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第3問円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
私立 久留米大学 2011年 第5問$y=|2x-1|$のグラフと$2$点で接する半径$3$の円の中心座標は$[$11$]$であり，$2$つの接点の座標は$[$12$]$と$[$13$]$である．
私立 久留米大学 2011年 第7問三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点の座標が$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ，$\overline{\mathrm{AB}}=[$16$]$，$\overline{\mathrm{AC}}=[$17$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$18$]$である．
(3)角$\angle \mathrm{BAC}$の角度は$[$19$]$である．
(4)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の半径は$[$20$]$である．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ，$\overline{\mathrm{AB}}=[$16$]$，$\overline{\mathrm{AC}}=[$17$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$18$]$である．
(3)角$\angle \mathrm{BAC}$の角度は$[$19$]$である．
(4)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の半径は$[$20$]$である．
私立 大同大学 2011年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}(5 \sqrt{2},\ 2 \sqrt{2})$を通り円$C$に接する直線で傾きが正のものを$\ell$とし，$C$と$\ell$の接点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．
(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．
私立 千葉工業大学 2011年 第2問次の各問に答えよ．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
私立 産業医科大学 2011年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[ ]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[ ]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[ ]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[ ]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[ ]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[ ]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[ ]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．
(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[ ]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[ ]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[ ]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[ ]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[ ]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[ ]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[ ]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．
私立 関西学院大学 2011年 第2問座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．