四角形ABCDが円に内接しており，$\angle \text{ABC}=120^\circ,\ \text{AB}=2,\ \text{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\text{CD}=a,\ \text{AD}=b$とおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．

(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．

座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点Pが行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．

(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上において，点A$(0,\ 1)$を中心とし原点Oを通る円$C_1$について，点B$(0,\ -1)$から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pの$x$座標は正とする．さらに，$y$軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

座標平面上に点A$(2,\ 0)$をとる．円$C:x^2+y^2=1$上の任意の点P$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0 \leqq \theta < 2\pi)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$上に点Qを直線AQと$\ell$が直交するようにとる．ただし，直線$\ell$が点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)点Qの座標を，$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR$(\theta)$とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R$(\theta)$は原点とする．このとき，点R$(\theta)$の軌跡は円になることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．

$k$を正の実数とする．点$(3k,\ 4k)$を中心とする半径$5k+1$の円を$C_k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)円$C_k$が原点を通るかどうかを答えなさい．
(2)$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C_k$の動く範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

$3$辺の長さがそれぞれ$2$，$3$，$4$であるような三角形がある．この三角形の面積を$S$，この三角形に内接する円の半径を$r$とする．

(1)$S$を求めよ．
(2)$r$を求めよ．

$a>5$とする．円$C:x^2+(y-a)^2=25$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は，円$C$を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の5倍に一致している．このとき，$a$の値を求めよ．

次の各問に解答しなさい．

(1)円$x^2+y^2=4$と放物線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})x^2+2$との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
(2+\sqrt{2})x^2+2y \geqq 4
\end{array}
\right. \]
の表す領域$R$を図示し，領域$R$の面積を求めなさい．
(3)$x^2+y^2 \leqq 4$のとき，$(2+\sqrt{2})x^2+2y$の最大値と最小値を求めなさい．