次の問いに答えよ．

(1)中心が点$(1,\ 2)$，半径が3の円がある．点$\mathrm{P}$がこの円上を動くとき，点$\mathrm{A}(-3,\ 6)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(2)5個の数字1，2，3，4，5から異なる3個を取って3桁の自然数を作る．3の倍数にも5の倍数にもならないものはいくつあるか．

$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．単位円上の点Pを，動径OPと$x$軸の正の部分とのなす角が$\theta$である点とし，点Qを$x$軸の正の部分の点で，点Pからの距離が2であるものとする．また，$\theta=0$のときの点Qの位置をAとする．

(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．

$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

中心が$(2,\ 0,\ 1)$，半径が$2\sqrt{5}$の球面が$yz$平面と交わってできる円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)点Pは$C$上を動き，点Qは$xy$平面上の直線$x=y$上を動くとする．線分PQの長さの最小値，およびそのときのP，Qの座標を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．

座標平面上で円$C:x^2+(y-4)^2=16$上の異なる2点P，Qに対し，線分PQを$1:3$に内分する点をMとする．下の問いに答えよ．

(1)点Pを原点に固定して，点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ．
(2)2点P，Qが円$C$上を動くとき，点Mが動く範囲を図示せよ．

$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
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(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．

空間内の四面体OABCについて，$\angle \text{OAC}=\angle \text{OAB}=90^\circ,\ \angle \text{BOC}=\alpha,\ \angle \text{COA}=\beta,\ \angle \text{AOB}=\gamma,\ \text{OA}=1$とする．ただし，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$はすべて鋭角で，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{4},\ \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}},\ \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$である．三角形ABCの外接円を$S$とし，その中心をPとする．以下の問に答えよ．

(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．

(1)点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0)$から$C_1$ に引いた接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．