「円」について
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国立 豊橋技術科学大学 2011年 第2問空間に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ 0,\ \frac{3}{2} \right)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$がある．また，線分$\mathrm{BP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s$と$t$は実数であり，$0<u<1$である．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
国立 東京大学 2011年 第1問座標平面において，点P$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C$とする．$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，直線$y=a(x+1)$と$C$との交点をQ，Rとする．
(1)$\triangle$PQRの面積$S(a)$を求めよ．
(2)$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．
(1)$\triangle$PQRの面積$S(a)$を求めよ．
(2)$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第2問円$C_1:x^2+y^2=25$と円$C_2:(x-10)^2+(y-5)^2=50$の$2$つの交点と原点を通る円を$C_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C_3$の中心と半径を求めよ．
(2)点P$(x,\ y)$が円$C_3$上を動くとき，$2y-x$の最大値を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円を$C$とする．点Q$(x,\ y)$が円$C$上を動くとき，$2y-x$の最大値が最小となる円$C$の中心と半径を求めよ．
(1)円$C_3$の中心と半径を求めよ．
(2)点P$(x,\ y)$が円$C_3$上を動くとき，$2y-x$の最大値を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．
(4)円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円を$C$とする．点Q$(x,\ y)$が円$C$上を動くとき，$2y-x$の最大値が最小となる円$C$の中心と半径を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第3問点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$r$である円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$について，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$|\overrightarrow{\mathrm{OA^\prime}}|^2$を表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．
(1)$r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$|\overrightarrow{\mathrm{OA^\prime}}|^2$を表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．
国立 北海道大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(2,\ 1)$，B$(1,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$xyz$空間内の点$(t +2,\ t +2,\ t)$がつくる直線を$\ell$とする．3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$^\prime (2,\ 1,\ 0)$，B$^\prime (1,\ 2,\ 0)$を通り，中心をC$(a,\ b,\ c)$とする球面$S$が直線$\ell$と共有点をもつとき，$a,\ b,\ c$の満たす条件を求めよ．
(1)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(2,\ 1)$，B$(1,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$xyz$空間内の点$(t +2,\ t +2,\ t)$がつくる直線を$\ell$とする．3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$^\prime (2,\ 1,\ 0)$，B$^\prime (1,\ 2,\ 0)$を通り，中心をC$(a,\ b,\ c)$とする球面$S$が直線$\ell$と共有点をもつとき，$a,\ b,\ c$の満たす条件を求めよ．
国立 東北大学 2011年 第2問$a$を実数とする．円$C$は点$(a,\ -a)$で直線$y = -x$を接線にもち，点$(0,\ 1)$を通るものとする．$C$の中心を $\mathrm{P}(X,\ Y)$として，以下の問いに答えよ．
(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第3問座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．
(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 神戸大学 2011年 第2問$xy$平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACと BDは原点Oで交わっている．点Aの座標は$(1,\ 2)$で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．$\angle \text{AOD} = \theta$とおき，点Cの$x$座標を$a$，四角形ABCDの面積を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．
(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．
国立 岡山大学 2011年 第3問平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．