$xy$平面において，不等式$x^2+y^2 \leqq 1$の表す領域を$D_1$とし，整数$k$に対して連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2x+k+2 \\
y \geqq 2x+k-5
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D_2$とする．

(1)円$x^2+y^2=1$の接線で，傾きが$2$のものをすべて求めよ．
(2)領域$D_1$が領域$D_2$に含まれるような$k$をすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．直線$\mathrm{AP}$の傾きを$t$としたとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$-\pi<\theta \leqq \pi$とする．$\theta$の関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos \theta}{3 \cos \theta-2 \sin \theta+5}$の最大値と最小値，またそのときの$\theta$の値を求めよ．

円周上に点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，円周をこれらの点で区切って得られる弧$\koa{$\mathrm{BC}$}$，$\koa{$\mathrm{CD}$}$，$\koa{$\mathrm{DE}$}$，$\koa{$\mathrm{EA}$}$の長さは弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$の長さのそれぞれ$2$倍，$3$倍，$4$倍，$5$倍となっている．円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}=[$1$]$であり，$\angle \mathrm{AED}=[$2$]$である．
（図は省略）

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[　]+[　] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[　]}{[　]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[　]}{[　]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[　]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[　]$，$b=-[　]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[　] \sqrt{[][]}$である．

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[　]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[　]}{[][]}$，

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[　]-[　] \sqrt{[][][]}}{72}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,\ t)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．

円$\mathrm{O}$に内接する台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行である．対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{ABD}={60}^\circ$である．

(1)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積は$[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(3)台形$\mathrm{ABCD}$の高さは$[オ] \sqrt{[カ]}$である．
(4)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[キ] \sqrt{[ク]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コサ]}}{[シ]}$である．

$a$を$a>2$であるような実数とする．座標平面上で，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$を$C_1$とし，点$(a,\ a)$を中心とし点$(1,\ 1)$を通る円を$C_2$とする．曲線$C_1$と円$C_2$の点$(1,\ 1)$以外の共有点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=x$に下ろした垂線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{H}$と点$(1,\ 1)$の距離を求めよ．
(3)$t$を正の実数とする．直線$y=x$上にあり点$(1,\ 1)$からの距離が$t$である点のうち，$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(4)直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}$，および曲線$C_1$で囲まれた部分を，直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さを$x$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$3$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$4$とする．また，$\angle \mathrm{BCA}$を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$0^\circ<\theta<{180}^\circ$であることを用いて，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の直径が$5$であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．