「円」について
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私立 東北工業大学 2012年 第3問半径$5 \sqrt{2}$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．
私立 成城大学 2012年 第3問半径$1$の円がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)この円に外接する正三角形の面積と内接する正三角形の面積との差を求めよ．
(2)この円に外接する正六角形の面積と内接する正六角形の面積との差を求めよ．
(3)この円に外接する正$n$角形の面積と内接する正$n$角形の面積との差を$n$の式で表せ．
(1)この円に外接する正三角形の面積と内接する正三角形の面積との差を求めよ．
(2)この円に外接する正六角形の面積と内接する正六角形の面積との差を求めよ．
(3)この円に外接する正$n$角形の面積と内接する正$n$角形の面積との差を$n$の式で表せ．
私立 北海道薬科大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．
私立 成城大学 2012年 第1問あるゲームでは，確率$p$で表が出るコインを$3$回投げる．表が$3$回出れば$15$円，ちょうど$2$回出れば$3$円，$1$回だけ出れば$1$円，$1$回も出なければ$6$円それぞれ支払わなければならない．
(1)支払額の期待値を$p$の関数として表せ．
(2)支払額の期待値を最小にするような$p$の値とそのときの期待値を求めよ．
(1)支払額の期待値を$p$の関数として表せ．
(2)支払額の期待値を最小にするような$p$の値とそのときの期待値を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2012年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
私立 関西学院大学 2012年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
私立 大阪産業大学 2012年 第2問直線$\ell:y=-3x+k$が，点$\mathrm{P}(1,\ 6)$および点$\mathrm{Q}$の$2$点で円$O:x^2+{(y-4)}^2=5$と交わり，点$\mathrm{Q}$で曲線$\displaystyle C:y=\frac{a}{x}+b$と接している．ここで$k,\ a,\ b$は定数とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
私立 大阪工業大学 2012年 第2問座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ -2 \sqrt{3},\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{3},\ \sqrt{3}-1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
私立 産業医科大学 2012年 第2問座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
私立 大阪学院大学 2012年 第4問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$の直角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．下図のように，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$における円$\mathrm{O}$の接線と辺$\mathrm{AB}$の延長との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BP}=3$のとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{BQ}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{QR}$は$\mathrm{BR}$の何倍かを求めなさい．
(4)$\mathrm{BR}$を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{BQ}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{QR}$は$\mathrm{BR}$の何倍かを求めなさい．
(4)$\mathrm{BR}$を求めなさい．