原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と直線$\ell:y=x$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$があり，$x$軸の正の部分を始線として，動径$\mathrm{OP}$の表す正の角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle \frac{1}{4}\pi<\theta<\pi$である．

(1)$\ell$に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$が最大になるときの$\theta$と$S$の値を求めよ．

半径$R$の円に，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{19}$，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{CD}=3$のとき，$\mathrm{AC}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle R=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$，$\mathrm{BD}=[カ]$である．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$

とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．

$2$次関数のグラフ$C_1:y=2x^2+2x$について，以下の問に答えよ．

(1)$C_2:y=2x^2-10x+17$のグラフは$C_1$を$x$軸の正の方向に$[ア]$，$y$軸の正の方向に$[イ]$だけ平行移動したものである．
(2)$C_3$のグラフは$C_1$を平行移動したものである．$C_3$の頂点$\mathrm{A}$は，単位円の上にある．$C_1$の頂点と$\mathrm{A}$の距離が最小になるとき，
$C_3:y=[ウ]x^2+[エ] \sqrt{[オ]}x+\frac{[カ]-\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．

座標平面上に円$(x+4)^2+y^2=16$と点$\mathrm{P}(4,\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を通る直線$y=mx+n$が円と$2$個の共有点を持つように定数$m$の値の範囲を定めよ．
(2)円周上を動く点$\mathrm{Q}$がある．線分$\mathrm{PQ}$を$3:2$に内分する点の軌跡を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．

図において，$\triangle \mathrm{ABC}$は半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接している．直線$\mathrm{PA}$，$\mathrm{PB}$は円$\mathrm{O}$の接線で，$\angle \mathrm{APB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}=45^\circ$である．このとき，
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{BAP}=[ケコ]^\circ$である．
(2)$\angle \mathrm{BCA}=[サシ]^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}=[スセソ]^\circ$である．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]+\sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．

$r$を正の定数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点をもつような$r$の範囲を求めよ．
(2)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{AB}=1$となる$r$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が不等式$x+y \geqq 3$を満たすとき，$x^2+y^2+2x+2y$の最小値を求めよ．

$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある．$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である．また，バスの運賃は$480$円であるが，バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している．団体券は前売り制であり，前日までに$1$万円で購入しなければならず，払い戻しはできない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．