放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ t)$を考える．ただし，$t$は正の実数である．$C$上の点の中で点$\mathrm{P}$との距離が最小となる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$f(t)=\mathrm{PQ}^2$とするとき，関数$f(t)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とし点$\mathrm{Q}$を通る円と，$C$との共有点の数を求めよ．

$10$円硬貨$3$枚と$100$円硬貨$3$枚を同時に投げて，表の出た$10$円硬貨の枚数を$X$，表の出た$100$円硬貨の枚数を$Y$とし，$X$と$Y$の大きい方を$Z$とする．ただし，$X$と$Y$が等しいときは$Z=X$とする．

(1)$X \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)$Z \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$Z=3$である確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．

(4)$Z$の期待値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ][テ]}$である．

中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）

自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．

(1)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線上の一点を$\mathrm{D}$とし，四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接する場合の四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=7$のとき次の問に答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ア]$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$[イ]$である．
(3)$\mathrm{A}$から円の中心$\mathrm{O}$を通る直線が$\mathrm{BC}$に交わる点を$\mathrm{D}$とすると，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$[ウ]$である．