直線$\ell:y=2x+m$は，点$\mathrm{A}(4,\ 2)$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接し，$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わっている．直線$\mathrm{AP}$と円$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$-4<m<4$とする．

(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．

円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{7},\quad \mathrm{BE}=4,\quad \mathrm{DE}=3,\quad \angle \mathrm{DEC}=60^\circ \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径$R$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．

平面上に曲線$C_1:y=|x^2-2|$と円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{A}(a,\ a^2-2)$で共通の接線$\ell$を持ち，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$でも共通の接線を持つ．ただし，$a>2$とする．

(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$\ell$が$\mathrm{A}$で接することを利用して，$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$\ell$に直交する直線の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)$C_2$の方程式を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,\ 2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,\ 2)$であり，直線$\ell$と接しているとする．$C$と$\ell$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$\ell$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$r$の値を求めよ．
(4)$(2)$の$C$の外側で$D$と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．