曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$を$x$で表せ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$の加速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{\alpha}=\left( \frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)$を$x$で表せ．
(3)半径$r$の円$x^2+(y-r)^2=r^2$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．
(4)動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,\ 0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．

座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C$，点$\mathrm{A}(0,\ 7)$，点$\mathrm{B}(1,\ 6)$が与えられている．点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円を$C(\mathrm{P})$として，以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$円$C,\ C(\mathrm{P})$が共有点をもつための条件を$\alpha$のみを用いて表せ．

$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．
（図は省略）

(1)$C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3)$C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．

今年$6$万円，来年$27$万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年$s$万円，来年$t$万円の黄金を購入すると，$f=s^2t$で定められる満足度が得られるとする．この人が今年は$6$万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの$(6-s)$万円と，$(6-s)$万円に対する$50 \%$の利息と，来年の収入の$27$万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の$6$万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の$50 \%$だけ来年の収入が減るとする．ただし，$s,\ t$は$0$以上の実数とし，来年の収入から借りる金額は$18$万円を限度とする．また，収入と得られた利息は来年末までにはすべて黄金の購入に使うとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．

円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．