次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．

(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）

$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

平面上に同じ点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$と半径$2$の円$C_2$があり，$C_1$の周上に定点$\mathrm{A}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ$C_1$，$C_2$の周上を反時計回りに動き，ともに時間$t$の間に弧長$t$だけ進む．時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$の位置にあって$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に同一直線上に並んでいる．$0 \leqq t \leqq 4\pi$のとき$\triangle \mathrm{APQ}$の面積の$2$乗の最大値を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(s,\ 0)$を考える．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$ではないものを$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．
(2)$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が1である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る円を$S$とする．点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で円$S$に内接する円$T$が，点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$，円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$，および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．