「円」について
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私立 東京都市大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問以下の問に答えよ．
(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．
\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．
(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．
\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．
(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．
私立 西南学院大学 2014年 第5問円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(8,\ 2)$，$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき，以下の問に答えよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
私立 西南学院大学 2014年 第3問点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．
私立 西南学院大学 2014年 第4問半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$，$\mathrm{BH}=3$，$\mathrm{CH}=2$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
私立 西南学院大学 2014年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$，円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=5$のとき，以下の問に答えよ．
(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．
(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．
私立 愛知学院大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2-6x-4y=19$と直線$\ell:x+y=k$について次の問いに答えなさい．
(1)$C$の半径を求めなさい．
(2)$\ell$が$C$の囲む面積を$2$等分するような$k$の値を求めなさい．
(3)$\ell$が$C$と共有点をもつような$k$の範囲を求めなさい．
(4)$\ell$が$C$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$\mathrm{PQ}$の長さが$8$となるような$k$の値を求めなさい．
(1)$C$の半径を求めなさい．
(2)$\ell$が$C$の囲む面積を$2$等分するような$k$の値を求めなさい．
(3)$\ell$が$C$と共有点をもつような$k$の範囲を求めなさい．
(4)$\ell$が$C$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$\mathrm{PQ}$の長さが$8$となるような$k$の値を求めなさい．
私立 学習院大学 2014年 第4問放物線$C:y=x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{3}{4} \right)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．
(1)$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とする．$K$の中心の座標を求めよ．
(1)$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とする．$K$の中心の座標を求めよ．
私立 ノートルダム清心女子大学 2014年 第3問次の設問に答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}