次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき，
\[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=[ア] \alpha \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \]
であるとき，$\mathrm{AC}=[イ]$である．
(3)$X=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{array} \right)$および自然数$n$に対し，
\[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & [エ] \\
[オ] & [カ]
\end{array} \right) \]
となる．
(4)$a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=[キ]$かつ$a>[ク]$が成り立つことである．ただし，$[キ]$には$a$の式，$[ク]$には数を記入すること．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，円に内接している．辺$\mathrm{AB}$の長さを$7$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$7$，辺$\mathrm{CD}$の長さを$5$，辺$\mathrm{DA}$の長さを$3$とする．線分$\mathrm{AC}$の長さの値を求めよ．

円$x^2+y^2=2$と直線$y=2x+k$は相異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする（$\mathrm{O}$は原点）．$S$が最大となるときの$k$の値を$M$としたとき，$M^2$の値を求めよ．

円$C_1:x^2+y^2=1$，円$C_2:(x-4)^2+y^2=25$について考える．点$\mathrm{R}(2,\ 0)$から円$C_1$にひいた接線を直線$L$とする（直線$L$の傾きは負の実数とする）．このとき，円$C_2$と直線$L$は$2$つの異なる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a$としたとき，$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさの比$A:B:C$が$2:3:7$であるとする．また，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$としたとき$\mathrm{BD}=\sqrt{10}$である．

(1)$\mathrm{BC}=2 \sqrt{[サ][シ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ス][セ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$5+5 \sqrt{[ソ][タ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が内接する円の面積は$[チ][ツ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
(4)$\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{[テ][ト]}}{4}$である．

円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．

次の問いに答えよ．

(1)円$(x-a)^2+(y-b)^2=A$（$a,\ b,\ A$は定数で$A>0$）と直線$y=x$が接するとき，$A$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=5$に接し，傾きが$-2$である直線の方程式は$[カ]$である．

底面が半径$1$の円である円錐$S$と，$S$と相似であるが半径が不明な円錐$L$がある．

(1)$S$と$L$の表面積の比が$1:12$のとき$L$の底面の半径を求めると$[チ]$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$L$の高さが$6$のとき，$L$に側面と底面で内接する球の半径を求めると$[ツ]$であり，その球の体積を求めると$[テ]$となる．

円$C_1$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$2$つの辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$となっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．

$a>0$とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$と直線$y=3x$との距離を$a$を用いて表すと$[　]$である．また，点$\mathrm{A}$を中心とし原点$\mathrm{O}$を通る円と直線$y=3x$との原点以外の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}=\sqrt{5}$ならば，$a=[　]$である．