下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）

下記に示す三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=4$であり，内側に円が接している．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)内接円の半径$r$の長さを求めよ．

下記の式に従う二つの円，円$\mathrm{A}$および円$\mathrm{B}$がある．

円$\mathrm{A}:x^2+y^2-4x+4 \sqrt{3}y+12=0$
円$\mathrm{B}:(x+1)^2+(y-\sqrt{3})^2=r^2$

$r$は正の定数とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が外接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(2)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が内接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(3)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が直角に交わるとき，すなわち円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$の交点におけるそれぞれの接線が直交するとき，円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．

下記に示す四角形$\mathrm{ABCD}$およびそれに外接する円がある．$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=4$とする．また，$\angle \mathrm{BAD}=\theta$，$\angle \mathrm{BCD}={180}^\circ-\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)底面の直径が$6$，高さが$9$の直円錐がある．直円錐の内側に球を配置した．直円錐の底面と側面に球が接しているとき，この内接球の半径$r$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており，かつ，円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している．線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ．ただし，円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする．
(3)三階建ての建物がある．図のように$3$階を$\mathrm{AB}$，$2$階を$\mathrm{CD}$，$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき，$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$，$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値（$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$）を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$，$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする．
（図は省略）

ノーマルオレンジ（$1$杯$100$円）とスペシャルオレンジ（$1$杯$150$円）の$2$種類のドリンクを販売しようとしている．ノーマルオレンジには，オレンジ$100 \, \mathrm{g}$とヨーグルト$200 \, \mathrm{g}$が必要となる．スペシャルオレンジには，オレンジ$200 \, \mathrm{g}$とヨーグルト$100 \, \mathrm{g}$が必要となる．しかし，いま使えるオレンジが$6 \, \mathrm{kg}$，ヨーグルトが$9 \, \mathrm{kg}$しかない．

(1)ノーマルオレンジを$x$杯，スペシャルオレンジを$y$杯作るとき，使えるオレンジの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(2)$(1)$と同様に，使えるヨーグルトの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(3)売り上げを計算する式を$x$と$y$で表しなさい．
(4)売り上げが最大となるのは，ノーマルオレンジとスペシャルオレンジをそれぞれ何杯作ったときか求めなさい．そのときの売り上げも求めなさい．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．

(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$である．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}={180}^\circ$であることを示せ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形$A_1$とその内接円$S_1$がある．円$S_1$に内接する正方形$A_2$とその内接円$S_2$がある．このようにして，内接円$S_{n-1}$に内接する正方形$A_n$とその内接円$S_n$がある．$A_1$から$A_n$までの面積の総和を$T_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}T_n$を求めよ．