「円」について
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私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)座標平面上の円$C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$に対して以下が成り立つ．
(i) $C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$([ア],\ [イ])$と$([ウ],\ [エ])$である．（ただし，$[ア]<[ウ]$とする．）
(ii) 点$(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は
$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$のとき最大値$[キ][ク]$をとり，
$(x,\ y)=([ケ],\ [コ])$のとき最小値$[サ]$をとる．
(2)座標平面上で点$(x,\ y)$が$x^2-4 |x|+y^2-2 |y|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,\ y)=(0,\ 0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は
\[ [シ] \leqq x^2+y^2 \leqq [ス][セ] \]
である．
(3)座標平面上で$x^2-4 |x|+y^2-2 |y| \leqq 0$を満たす点$(x,\ y)$全体のなす領域を$S$とする．
(i) 点$(x,\ y)$が$S$上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は
\[ [ソ] \leqq x^2+y^2 \leqq [タ][チ] \]
である．
(ii) $S$の面積は$[ツ][テ]\pi+[ト][ナ]$である．
(1)座標平面上の円$C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$に対して以下が成り立つ．
(i) $C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$([ア],\ [イ])$と$([ウ],\ [エ])$である．（ただし，$[ア]<[ウ]$とする．）
(ii) 点$(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は
$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$のとき最大値$[キ][ク]$をとり，
$(x,\ y)=([ケ],\ [コ])$のとき最小値$[サ]$をとる．
(2)座標平面上で点$(x,\ y)$が$x^2-4 |x|+y^2-2 |y|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,\ y)=(0,\ 0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は
\[ [シ] \leqq x^2+y^2 \leqq [ス][セ] \]
である．
(3)座標平面上で$x^2-4 |x|+y^2-2 |y| \leqq 0$を満たす点$(x,\ y)$全体のなす領域を$S$とする．
(i) 点$(x,\ y)$が$S$上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は
\[ [ソ] \leqq x^2+y^2 \leqq [タ][チ] \]
である．
(ii) $S$の面積は$[ツ][テ]\pi+[ト][ナ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=2x^2+2x+\frac{1}{2}$と$\displaystyle C_2:y=-2x^2+2x+\frac{3}{2}$に対して次の問いに答えよ．なお，必要なら \ \tbox{\rule[-0.43em]{0pt}{1.6em}\hspace{0.33em} $1$\hspace{0.57em}} $(1)$の結果を使ってもよい．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第5問直線
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき
\[ r_1=\frac{1}{[ソ]t^2+[タ]t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき
\[ r_2=\frac{1}{[チ]t^2+[ツ]t+[テ]} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
したがって
\[ [ト]<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{[ナ]}+[ニ] \]
である．
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき
\[ r_1=\frac{1}{[ソ]t^2+[タ]t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき
\[ r_2=\frac{1}{[チ]t^2+[ツ]t+[テ]} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
したがって
\[ [ト]<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{[ナ]}+[ニ] \]
である．
私立 早稲田大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第3問曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[ ]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[ ]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．
私立 日本女子大学 2015年 第1問正の実数$t$に対して方程式
\[ x^2+y^2-2tx-4ty+4t^2=0 \]
で表される円を$C_t$とする．$t$がどのような値でも$C_t$と接する直線の方程式を求めよ．
\[ x^2+y^2-2tx-4ty+4t^2=0 \]
で表される円を$C_t$とする．$t$がどのような値でも$C_t$と接する直線の方程式を求めよ．
私立 龍谷大学 2015年 第3問円$x^2+(y-1)^2=1$とその内部を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．
(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．
(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．
私立 甲南大学 2015年 第2問$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 甲南大学 2015年 第2問$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2015年 第2問$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．