「円」について
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私立 慶應義塾大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[ ]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[ ]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
私立 上智大学 2015年 第3問ある工場では製品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を生産している．それらを生産するには，原料$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が必要である．$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である．$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である．原料の在庫はそれぞれ，$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である．また，$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円，$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある．ただし，$c>0$，$p>0$，$q>0$とする．以下，在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
(1)$c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2)$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする．
(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>[ユ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第2問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$\mathrm{O}$に内接している．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$2$つの直線$y=kx$と$\displaystyle y=-\frac{1}{k}x$に同時に接する円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(a,\ b)$とおく．ただし，$k$は定数で，$0<k<1$とし，$a>0$，$b>0$とする．次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
私立 上智大学 2015年 第2問座標平面上の点$(\alpha,\ 1) (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．
(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．
(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．
私立 上智大学 2015年 第3問$t$を実数とする．座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1-\sqrt{3}t)$と，原点を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くときの$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積の最大値を$M_t$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=M_t$となる点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_t$と表す．
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき，
\[ M_t=[ナ]+\frac{1}{\sqrt{[ニ]}} \]
であり，$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( [ヌ],\ [ネ] \right)$である．
(2)実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$で最小値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）と表す．実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$\theta$は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]}\pi<\theta \leqq \frac{[マ]}{[ミ]}\pi \]
の範囲を動く．
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき，
\[ M_t=[ナ]+\frac{1}{\sqrt{[ニ]}} \]
であり，$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( [ヌ],\ [ネ] \right)$である．
(2)実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$で最小値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）と表す．実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$\theta$は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]}\pi<\theta \leqq \frac{[マ]}{[ミ]}\pi \]
の範囲を動く．
私立 上智大学 2015年 第3問$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
私立 上智大学 2015年 第3問平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
私立 北星学園大学 2015年 第3問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{14}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=1$，対角線$\mathrm{AC}=\sqrt{7}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ADC}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ADC}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．