「円」について
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私立 東京医科大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
私立 昭和薬科大学 2016年 第2問$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．
(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．
(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．
私立 神奈川大学 2016年 第2問円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 神奈川大学 2016年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 広島工業大学 2016年 第2問中心$\mathrm{O}$，半径$2$の円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，$\mathrm{CD}$をこの円の直径とし，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{p}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め，$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．
(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め，$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．
私立 千葉工業大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=9$，$\mathrm{OB}=7$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である．$\mathrm{AB}=[ア]$であり，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある．$\ell$は定数$a$の値によらず，点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る．
$a=0$のとき，$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である．
また，$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で交わり，$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき，
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり，$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=9$，$\mathrm{OB}=7$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である．$\mathrm{AB}=[ア]$であり，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある．$\ell$は定数$a$の値によらず，点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る．
$a=0$のとき，$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である．
また，$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で交わり，$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき，
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり，$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 東京経済大学 2016年 第3問点$\mathrm{A}(-1,\ -3)$から円$x^2+y^2=5$に接線を引くと，接点の座標は$(-[セ],\ -[ソ])$と$([タ],\ -[チ])$である．また，$2$本の接線と円で囲まれた部分（ただし，円の内部を含まない）の面積は，$\displaystyle [ツ]-\frac{[テ]}{[ト]} \pi$である．