「円錐」について
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私立 大阪薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
私立 上智大学 2014年 第2問座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
私立 東京都市大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
私立 南山大学 2013年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．
(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．
私立 安田女子大学 2013年 第3問次の図のように，底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$，高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と，底面を共有し，円錐に内接する円柱がある．このとき，次の問いに答えよ．なお，円周率は$\pi$とする．
（図は省略）
(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．
公立 釧路公立大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
国立 長崎大学 2012年 第4問$a$を正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)半径$a$の球面に内接する円柱の高さを$g$，底面の半径を$r$とする．$r$を$a$と$g$を用いて表せ．
(2)(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)半径$a$の球面に内接する円錐がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さを$h$，底面の半径を$s$とする．$s$を$a$と$h$を用いて表せ．
(4)(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(1)半径$a$の球面に内接する円柱の高さを$g$，底面の半径を$r$とする．$r$を$a$と$g$を用いて表せ．
(2)(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)半径$a$の球面に内接する円錐がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さを$h$，底面の半径を$s$とする．$s$を$a$と$h$を用いて表せ．
(4)(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．
私立 立教大学 2012年 第2問関数$f(x)=x^3+x^2-16x+3$が定める座標平面上の曲線を$C$とする．この曲線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{P}$とし，$f(x)$は$x=a$において極小値をとるとする．$x=a$に対応する曲線上の点を$\mathrm{Q}(a,\ f(a))$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．
私立 日本女子大学 2012年 第3問点$\mathrm{H}$を中心，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える．ただし，線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする．右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である．左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する．この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$，母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる．左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$，$\mathrm{AE}=3$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）