次の図のように，底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$，高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と，底面を共有し，円錐に内接する円柱がある．このとき，次の問いに答えよ．なお，円周率は$\pi$とする．
（図は省略）

(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．

$a$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)半径$a$の球面に内接する円柱の高さを$g$，底面の半径を$r$とする．$r$を$a$と$g$を用いて表せ．
(2)(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)半径$a$の球面に内接する円錐がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さを$h$，底面の半径を$s$とする．$s$を$a$と$h$を用いて表せ．
(4)(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．

関数$f(x)=x^3+x^2-16x+3$が定める座標平面上の曲線を$C$とする．この曲線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{P}$とし，$f(x)$は$x=a$において極小値をとるとする．$x=a$に対応する曲線上の点を$\mathrm{Q}(a,\ f(a))$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}(0,\ f(a))$で定める．$\triangle \mathrm{PQR}$を$y$軸を中心にして回転させて得られる円錐$\mathrm{M}$とそれに内接する円柱$\mathrm{N}$を考える．円柱$\mathrm{N}$の底面は，円柱$\mathrm{M}$の底面に含まれており，半径が$r$であるとき，この円柱$\mathrm{N}$の体積$V$を$r$の式で表せ．
(3)円柱$\mathrm{N}$の体積$V$が最大となるような$r$とそのときの体積を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし$\log$は自然対数，また$e$はその底である．

(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$xyz$空間において，底面の半径が2，高さが4である直円柱
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
0 \leqq z \leqq 4
\end{array}
\right. \]
を考える．この円柱内で，さらに
\[ \left\{
\begin{array}{l}
z \leqq (x-2)^2 \\
z \leqq y^2
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y,\ z)$からなる立体を$V$とする．次の問いに答えよ．

(1)立体$V$を平面$x=t \ (-2 \leqq t \leqq 2)$で切った切り口の面積を$A(t)$とする．$A(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

表面積が$150 \pi$の円柱のうち，体積が最大となる円柱の底面の半径を$r$とするとき，$r$の値を求めよ．ただし，円柱の表面積は，$2$つの底面および側面の面積の総和である．

底面の半径が$a$，高さが$2a$の円柱にちょうど入る球または円錐がある．以下の問に答えよ．

(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の$1$辺の長さを求めよ．

図のように，表面積が$2\pi$で，底面の半径が$r$，高さが$h$の円柱がある．

(1)$h$を$r$の式で表せ．
(2)この円柱の体積が最大となるような$r$と$h$の値を求めよ．また，そのときの体積を求めよ．
（図は省略）