次の設問の$[　]$に適当な数を入れなさい．

半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[　] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率である．

半径が$1$の球に内接する直円柱を考え，この直円柱の底面の半径を$x$とし，体積を$V$とする．

(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である．

(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である．

(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり，その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である．

半径が$1$の円を底面とし，高さが$4$の直円錐に内接する直円柱を考える．この直円柱の表面積が最大となるときの底面の半径$x$の値と，その際の直円柱の体積$V$の値を求めよ．ただし円周率は$\pi$とする．
（図は省略）

底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり，高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある．ただし，底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい．この容器に水を満杯に入れ，その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ，容器の水が溢れだした．その後，球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった．このとき，溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ，容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である．

半径$1$の円を底面とする高さ$2$の円柱がある．下図のように，ひとつの底面を$xy$平面にとり，その中心を原点$\mathrm{O}$にとる．点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\ 0,\ 0 \right)$および点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$を通り，$xy$平面と${45}^\circ$の角をなす平面で，円柱を$2$つの立体に分ける．以下の問いに答えよ．

(1)平面$x=a$（ただし，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq a \leqq 1$）で小さい方の立体を切ったときの切り口（長方形$\mathrm{PQRS}$）の面積$S(a)$を求めよ．
(2)小さい方の立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）

図のように，円柱$E$と直円錐$F$が半径$1$の球に内接しており，さらに$E$と$F$の底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき，円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを，それぞれ$h$を用いて表しなさい．
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする．円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．

下図は，半径$1$の円を底面とする高さ$1$の円柱を，底面に垂直な平面で切り取ったものである．ここで，線分$\mathrm{OA}$は底面に垂直である．また，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$は点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面上にあり，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$は垂直である．さらに，$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{BE}$の中点であり，$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{3}{2}$である．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，$\mathrm{OX}=t$とする．$\mathrm{X}$を通り，線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面と線分$\mathrm{EC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．
（図は省略）

(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．

(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．

(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）