「円形」について
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私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
国立 弘前大学 2015年 第2問男子$4$人と女子$4$人を円形のテーブルのまわりに無作為に配置する．次の問いに答えよ．
(1)男女が交互に並ぶ配置になる確率を求めよ．
(2)この配置を$3$回行うとき，男女が交互に並ぶ配置になる回数が$1$回または$2$回になる確率を求めよ．
(1)男女が交互に並ぶ配置になる確率を求めよ．
(2)この配置を$3$回行うとき，男女が交互に並ぶ配置になる回数が$1$回または$2$回になる確率を求めよ．
私立 愛知学院大学 2015年 第1問$4$人の女子と$4$人の男子の計$8$人を$1$列に並べるとき，順列の総数は$[ア]$であり，少なくとも一端が男子である順列の総数は$[イ]$であり，どの男子も隣り合わない順列の総数は$[ウ]$である．また，この$8$人の女子と男子を男女交互に円形に並べるとき，その並べ方の総数は$[エ]$である．
私立 名城大学 2014年 第3問$5$人が座れる円形のテーブルが$2$つあり，$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$子さん，$\mathrm{C}$君を含む$10$人が抽選で座る．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$子さん，$\mathrm{C}$君およびその後に他の$7$人がこの順でくじを引くとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$子さんと同じテーブルに座れる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$子さんと隣り合わせに座れる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$子さんが同じテーブルに，$\mathrm{C}$君は別のテーブルに座る確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$子さんと同じテーブルに座れる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$子さんと隣り合わせに座れる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$子さんが同じテーブルに，$\mathrm{C}$君は別のテーブルに座る確率を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第3問赤い玉が$4$個，白い玉が$2$個，青い玉が$1$個ある．このとき，以下の問に答えよ．
(1)これらの中から$3$個の玉を取り出して円形に並べる方法は$[ツ]$通りある．
(2)$7$個全ての玉を円形に並べる方法は$[テト]$通りある．
(3)$7$個全ての玉にひもを通し，首飾りを作るとき，$[ナ]$通りの首飾りができる．ただし，裏返して一致する首飾りは同じものとみなす．
(1)これらの中から$3$個の玉を取り出して円形に並べる方法は$[ツ]$通りある．
(2)$7$個全ての玉を円形に並べる方法は$[テト]$通りある．
(3)$7$個全ての玉にひもを通し，首飾りを作るとき，$[ナ]$通りの首飾りができる．ただし，裏返して一致する首飾りは同じものとみなす．
私立 日本女子大学 2012年 第2問女子$6$人，男子$3$人が次のように並ぶ方法はそれぞれ何通りあるか．
(1)男子$3$人が続いて並ぶように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(2)両端が男子になるように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(3)男子がどの$2$人も隣り合わないように，この$9$人が円形に並ぶ．
(1)男子$3$人が続いて並ぶように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(2)両端が男子になるように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(3)男子がどの$2$人も隣り合わないように，この$9$人が円形に並ぶ．
私立 東北工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
私立 広島修道大学 2011年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
私立 北星学園大学 2011年 第2問$6$人座れる円形のテーブルが$2$つあり，ここに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人を含む$10$人が各テーブルに$5$人ずつ無作為に着席するものとする．ただし，それぞれのテーブルについて回転して同じになる座り方は同じとみなす．以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る座り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルで隣り合わせに座る確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る座り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルで隣り合わせに座る確率を求めよ．
私立 金沢工業大学 2010年 第2問半径が$1 \; \mathrm{m}$の円形のブリキ板から，中心角が$90^\circ$の扇形の部分を切り落して残りの部分で下図のような円錐形の容器を作る．
（図は省略）
(1)この容器の底面の半径は$\displaystyle r=\frac{[ク]}{[ケ]} \; \mathrm{m}$，深さは$\displaystyle h=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \; \mathrm{m}$である．
(2)この容器に，その深さの$\displaystyle \frac{2}{3}$のところまで水を入れるとき，その水の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]} \pi \; \mathrm{m}^3$である．
（図は省略）
(1)この容器の底面の半径は$\displaystyle r=\frac{[ク]}{[ケ]} \; \mathrm{m}$，深さは$\displaystyle h=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \; \mathrm{m}$である．
(2)この容器に，その深さの$\displaystyle \frac{2}{3}$のところまで水を入れるとき，その水の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]} \pi \; \mathrm{m}^3$である．