$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．

球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．

図$1$が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図$1$参照）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．

$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{C}$における接線を$\ell$とする．$\ell$上に$\mathrm{C}$でない点$\mathrm{T}$を，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と反対の側にとる．$\angle \mathrm{ACT}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ．
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．