タグ「円周率」の検索結果

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東北工業大学 私立 東北工業大学 2015年 第2問
点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と,点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円がある.$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わっており,$\mathrm{OP}=\sqrt{3}+1$であるとする.また,四角形$\mathrm{AOBP}$の面積を$S$とする.

(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{[サ][シ]}$である.

(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{[ス][セ]}}{2}$であり,$\mathrm{AB}=[ソ][タ] \sqrt{3}$である.

(3)四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=[チ][ツ]+\sqrt{3}$である.

(4)$2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{6} \pi-S$である.ただし,$\pi$は円周率を表す.
日本獣医生命科学大学 私立 日本獣医生命科学大学 2015年 第2問
半径が$1$の円を底面とし,高さが$4$の直円錐に内接する直円柱を考える.この直円柱の表面積が最大となるときの底面の半径$x$の値と,その際の直円柱の体積$V$の値を求めよ.ただし円周率は$\pi$とする.
(図は省略)
聖マリアンナ医科大学 私立 聖マリアンナ医科大学 2015年 第3問
三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする.

三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし,その半径を$a$とする.また,円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く,辺$\mathrm{AB}$,辺$\mathrm{AC}$,円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,円周率は$\pi$を用いるものとする.

\begin{mawarikomi}{55mm}{
(図は省略)
}


(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.ただし,$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である.
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき,
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.
(3)$L=W$が成り立つとき,$\sin \theta$,$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい.

\end{mawarikomi}
東北工業大学 私立 東北工業大学 2014年 第2問
三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$つの角の大きさの比$A:B:C$が$2:3:7$であるとする.また,頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$としたとき$\mathrm{BD}=\sqrt{10}$である.

(1)$\mathrm{BC}=2 \sqrt{[サ][シ]}$,$\mathrm{AD}=\sqrt{[ス][セ]}$である.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$5+5 \sqrt{[ソ][タ]}$である.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が内接する円の面積は$[チ][ツ] \pi$である.ただし,$\pi$は円周率を表す.
(4)$\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{[テ][ト]}}{4}$である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第2問
$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し,$a_n=5^n \sin n\theta$とおく($n=1,\ 2,\ \cdots$).次の問いに答えよ.

(1)数列$\{a_n\}$は,ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される.このとき,$A,\ B$の値を求めよ.
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ.
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ.
和歌山県立医科大学 公立 和歌山県立医科大学 2014年 第2問
実数$x$に対して,$x$以下で最大の整数を$x$の整数部分といい,$[x]$で表す.自然数$n$に対して,数列$\{a_n\}$を$a_n=[n\pi]$と定め,また数列$\{b_n\}$を,$b_1=b_2=b_3=0$,$n \geqq 4$のときは
\[ a_k<n \leqq a_{k+1} \quad \text{となる} n \text{に対して,} \quad b_n=k \]
と定める.ただし,$\pi$は円周率を表す.

(1)$b_4,\ b_5,\ b_7,\ b_{10}$を求めよ.
(2)自然数$p,\ q$に対して,$a_p<q$ならば$p\pi<q$であることを示せ.
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表せ.このとき,必要なら上記の整数部分を表す記号を用いてよい.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2013年 第3問
次の図のように,底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$,高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と,底面を共有し,円錐に内接する円柱がある.このとき,次の問いに答えよ.なお,円周率は$\pi$とする.
(図は省略)

(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき,円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ.
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ.
千歳科学技術大学 私立 千歳科学技術大学 2013年 第1問
次の各問いに答えなさい.

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい.
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい.
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい.
(4)$\pi$を円周率($3.14159 \cdots$)とするとき,次の無限数列の和$S$を求めなさい.

$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$

(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい.
ノートルダム清心女子大学 私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第2問
以下の問いに答えなさい.

(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1$とする.また,辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし,$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$,$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする.このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい.

\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}

(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし,面積を$S$とする.また,半径$r$の球の体積を$V$とする.このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい.
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき,その正三角形の面積を求めなさい.また,同様にして正方形を$1$つ作ったとき,その正方形の面積を求めなさい.さらに,同様にして円を$1$つ作ったとき,その円の面積を求めなさい.ただし円周率を$\pi$とする.
釧路公立大学 公立 釧路公立大学 2013年 第1問
以下の各問に答えよ.

(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり,品物を$5 \, \%$引きで買うことができる.$1$個$380$円の品物を買うとき,何個以上買うと,会員になった方が,会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ.
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある.

(i) この$2$次関数の最小値$m$を,$n$の関数で表せ.
(ii) $n$の値を変化させて,$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と,そのときの$m$の値を求めよ.

(3)底面の半径が$6$,高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ.ただし,円周率は$\pi$とする.
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