円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．

点$(x,\ y)$が，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の内部および周上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)$3x+y$の最大値は$[ケコ]$となる．
(2)$x^2-2x+y^2+2y+2$の最小値は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$となり，そのときの$x$の値は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$となる．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b+4)$，$\mathrm{C}(0,\ b+4)$を考える．ただし，$a$と$b$は互いに素な自然数とする．

(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を定数とする．座標平面において，$x^2+y^2+ax+by=0$は中心を点$([　],\ [　])$とする半径$[　]$の円の方程式である．サイコロを$2$度投げ，最初に出た目を$a$とし，次に出た目を$b$とする．この円の内部の面積が$4 \pi$以下である確率は$[　]$である．また，この円が直線$x+y=a-b$と異なる$2$点で交わる確率は$[　]$である．
(2)$2013$を素因数分解すると$[　]$である．$x=[　]$，$y=0$は，方程式$11x+25y=2013$をみたす．$x,\ y$を共に$0$以上の整数とするとき，方程式$11x+25y=2013$をみたす$(x,\ y)$の組は全部で$[　]$組あり，それらの中で$x^2+y^2$の値が最大になるのは$x=[　]$，$y=[　]$のときである．

次の問いに答えなさい．

$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．

(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[　]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[　]$，半径が$[　]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[　]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[　]$の範囲にある．

図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．