「内部」について
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国立 金沢大学 2015年 第1問平面上の三角形$\mathrm{ABC}$で，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=7$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=5$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$となるものを考える．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第3問平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{D}$があって，三角形の面積比が
\[ \triangle \mathrm{DBC}:\triangle \mathrm{DCA}:\triangle \mathrm{DAB}=p:q:r \]
であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$，直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}$および$\mathrm{CT}:\mathrm{TA}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}+r \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{p+q+r}$となることを示せ．
\[ \triangle \mathrm{DBC}:\triangle \mathrm{DCA}:\triangle \mathrm{DAB}=p:q:r \]
であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$，直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}$および$\mathrm{CT}:\mathrm{TA}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}+r \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{p+q+r}$となることを示せ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第1問直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
私立 龍谷大学 2015年 第3問円$x^2+(y-1)^2=1$とその内部を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．
(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．
(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．
(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．
私立 上智大学 2015年 第3問$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．