座標空間において，8点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$，D$(0,\ 1,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 0)$，G$(1,\ 1,\ 1)$をとり，この8点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，6点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積，すなわち5個の領域$Q$，$\beta_t(\text{O})$，$\beta_t(\text{D})$，$\beta_t(\text{E})$，$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき，
\[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \]
の体積を$t$で表せ．

$xy$平面上の原点を中心として半径1の円$C$を考える．$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とし，$C$上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$をPとする．Pで$C$に接し，さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし，その中心Qの座標を$(u,\ v)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき，点Qの軌跡の式を求めよ．さらに，その軌跡を図示せよ．
(3)円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき，次の値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]

$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．

(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$[　]$をうめよ．

$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，$7 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{D}$が同一直線上にあることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PBD}$と$\triangle \mathrm{PCA}$の面積の比を求めよ．

座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．

同じ大きさの立方体を$12$個積んでできた直方体を図に示す．頂点$\mathrm{A}$ \\
から頂点$\mathrm{B}$まで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする． \\
次の問いに答えよ．
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(1)進み方は全部で何通りあるか．
(2)直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．
(3)頂点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$のいずれも通らない進み方は何通りあるか．