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公立 広島市立大学 2015年 第4問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\theta$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\theta$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$が与えられており，各辺の長さが
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
国立 岩手大学 2014年 第2問$a$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$とする．この三角形の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を，四角形$\mathrm{DECF}$が平行四辺形となるように定める．$\mathrm{CE}=x$，$\mathrm{CF}=y$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
国立 三重大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$とする．この三角形の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を，四角形$\mathrm{DECF}$が平行四辺形となるように定める．$\mathrm{CE}=x$，$\mathrm{CF}=y$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
国立 九州工業大学 2014年 第1問空間において$1$点$\mathrm{O}$を固定し，$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが$\overrightarrow{p}$である点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$で表す．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$，$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{BC}$を$s:1-s (0<s<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\displaystyle \overrightarrow{h}=\overrightarrow{a}-\frac{9}{16} \overrightarrow{b}+\frac{9}{16} \overrightarrow{c}$を位置ベクトルとする平面$\alpha$上の点を$\mathrm{H}(\overrightarrow{h})$とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{OB}=3 \sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=5$として，次に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(4)$s$を$(3)$で求めた値とするとき，四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(4)$s$を$(3)$で求めた値とするとき，四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2014年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，ベクトル$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を用いて$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$と表されている．
(1)$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から等距離にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 2,\ 2)$，$(0,\ 3,\ 0)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から等距離にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 2,\ 2)$，$(0,\ 3,\ 0)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$とし，線分$\mathrm{AC}$の長さを$k$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．ただし，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{EC}$が平行であることを用いてよい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$の値を求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BAE}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．ただし，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{EC}$が平行であることを用いてよい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$の値を求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BAE}$の値を求めよ．