「内積」について
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公立 首都大学東京 2016年 第3問$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．
公立 前橋工科大学 2016年 第2問空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-3,\ -2,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．
国立 旭川医科大学 2015年 第4問四面体$\mathrm{OAPQ}$において，$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$とし，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$p \leqq q$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
国立 九州大学 2015年 第2問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$100+3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$100+3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{\mathrm{AG}}+3\overrightarrow{\mathrm{BG}}+5\overrightarrow{\mathrm{CG}}=12\overrightarrow{\mathrm{OG}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$4 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{\mathrm{AG}}+3\overrightarrow{\mathrm{BG}}+5\overrightarrow{\mathrm{CG}}=12\overrightarrow{\mathrm{OG}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$4 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第3問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第2問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
\[ 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．この円上に点$\mathrm{P}$があり，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$は直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$をそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{APBC}$の面積を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．