四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
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(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．

$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．

(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．

(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．

以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．

(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=1$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$n$を整数とし，$L={|\displaystyle \frac{1|{4} \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}}}^2$を考える．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(2)$L$を$n$で表しなさい．
(3)$L$を最小にする整数$n$を求めなさい．

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．

(1)$(x+1)^5$の$x^3$の係数は$[ア]$である．
(2)中心を$\mathrm{O}$とする円の円周上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{AB}=3$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$の内積は，$[イ]$である．
(3)$y=x^2+px+q (pq \neq 0)$のグラフが点$(1,\ 1)$を通り，$x$軸に接するとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(4)$120$人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が$83$人，バスを利用する学生が$48$人，電車もバスも利用しない学生が$28$人であった．電車とバスの両方を利用する学生は$[オ]$人である．
(5)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$枚のカードをよくきって，$6$枚を$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[カ]$である．
(6)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}$と$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}$を解とする$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とするとき，$p=[キ]$，$q=[ク]$である．
(7)方程式$\log_2 \sqrt[3]{x}-\log_4 4x^3+8=0$の解は$x=[ケ]$である．
(8)$x+x^{-1}=7$のとき，$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$は$[コ]$である．ただし，$x>0$とする．
(9)$100$以下の自然数の中で，$4$で割ると$1$余る数の総和は$[サ]$である．
\mon $f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^\prime(x)=3x^2-4x-1$，$f(1)=0$を満たすとき，$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$とおくと，$p=[シ]$，$q=[ス]$，$r=[セ]$である．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$で，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{DE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$，$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(2a+1)x-3a+1=0$（$a$は定数）の$1$つの解が$x=-1$であるとき，$a=[ア]$であり，他の解は$x=[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i$（ただし，$i^2=-1$）である．
(3)$(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)=x^4-[オ]x^2+[カ]$である．
(4)$2n^2-9n-5 \leqq 0$をみたす整数$n$は全部で$[キ]$個ある．
(5)$10$本のくじのうち$4$本が当たりくじである．この中から，同時に$2$本のくじを引くとき，少なくとも$1$本は当たりくじである確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(6)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ 1)$において，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[コ]$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[サシ]^\circ$である．
(7)$3^n>10000$をみたす最小の整数$n$は$[ス]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^2-2x+3) \, dx=[セソ]$である．

三角形$\mathrm{OAB}$は面積が$9 \sqrt{7}$で，$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=8$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は鈍角である．辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$があり，線分$\mathrm{OL}$上に点$\mathrm{N}$があって，
\[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \]
（ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[エオ]$である．

(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{[カ]}{[キ]} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{[コ]}{[サ]}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$


と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{[セ]}{[ソ]}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[　]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[　]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[　]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[　]$である．

座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとき，
\[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \]
が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．